计算机组成原理 2、运算方法与运算器

数的机器码表示

原码表示法

0或1	二进制的绝对值

纯小数原码表示定义

$$[x]_原=\begin{cases} X,0 \leq X \leq 1- {2^{-(n-1)}}\\ 1-X=1+|X|,-(1- {2^{-(n-1)}} ) \leq X \leq 0\\ \end{cases}$$

• 零的原码有正零和负零两种形式：

纯整数原码表示定义

$$[X]_原=\begin{cases} X, 0 \leq X \leq {2^{(n-1)}}-1 \\ {2^{(n-1)}}-X={2^{(n-1)}}+|X|,-({2^{(n-1)}}-1) \leq X \leq 0 \end{cases}$$

补码表示法

纯小数补码表示定义

$$[X]_补=\begin{cases} X,0 \leq X \leq 1- {2^{-(n-1)}}\\ 2+X=2-|X|,-1 \leq X \leq 0 \end{cases}$$

• 例如

若x1=+0.1011 x2=-0.1011， 字长为8b，则其原码分别为：

[x1]补=0.1011000

[x2]补=2 - 0.1011000 =1.0101000

即最后一个1不变，前面全部相反。

• 补码的零只有一个，即0.0000000。

• 补码1.0000000表示负1

纯整数补码表示定义

$$[X]_补=\begin{cases} X, 0 \leq X \leq {2^{(n-1)}}-1 \\ 2^n+X=2^n-|X|,-{2^{(n-1)}} \leq X \leq 0 \end{cases}$$

也是和小数一样，最后一个1不变，前面全部相反。

反码表示法

对于正数来说，反码=原码=补码

对于负数来说，

符号位：与原码、补码的符号位定义相同。

数值：将原码的数值位按位变反。

• 例如

若x1=+0.1011 x2=-0.1011， 字长为8b。

[x1]反=0.1011000= [x1]原= [x1]补

[x2]原=1.1011000

[x2]反=1.0100111

• 反码的零有两个0.0000和1.11111

移码表示法

若纯整数X为n位（包括符号位），则其移码定义为：

$$[x]_移=2^{n-1}+[x]_补$$

• 方法：补码将符号位求反可得移码

设字长为8b，若x1=+1000(2)， x2=-1000(2)，

[x1]补=00001000 [x1]移=10001000

[x2]补=11111000 [x2]移=01111000

数的定点表示法

小数：符号位之后就是小数点

整数：小数点固定在数的最低位之后

正零：$(0.0000000)_原$

负零：$(1.0000000)_原$

数的浮点表示法

第一种浮点格式

阶符+阶码值	数符+尾数值
补码定点整数形式	补码定点小数表示形式

比如00001001,1.01111111110000000000000

第二种浮点格式

数符	阶符+阶码值	尾数值
	移码定点整数形式

比如1,1,0001001,01111111110000000000000

定点加、减运算

定点补码加、减法与溢出

加法公式：

$[x]_补+[y]_补=[x+y]_补$

减法公式：

$[x]_补-[y]_补=[x]_补+[-y]_补=[x+(-y)]_补$

溢出判断法

定点小数，数的表示范围为|ｘ|<1。

在运算过程中如出现大于1的现象，称为“溢出”。

定点整数，取决于位长，比如8b，数的表示范围为-128~127，超出这个范围则称为“溢出”。

在定点机中，正常情况下溢出是不允许的。

为了判断“溢出”是否发生，可采用两种检测的方法。

双符号位法、进位判断法

1. 双符号法(变形补码法)

用两个相同的符号位$S_{f1} S_{f2}$表示一个数的符号。

左边第一位为第一符号位$S_{f1}$，相邻的为第二符号位$S_{f2}$。

00表示正号；

11表示负号；

01表示产生正向溢出；

10表示产生负向溢出。

可以这样表示：

V=$S_{f1} \oplus S_{f2}$ ，此逻辑表达式可用异或门实现。

$(a \oplus b = (\neg a \wedge b) \vee (a \wedge \neg b))$

若V=0，则无溢出；V=1，则有溢出。

1. 进位判断法

设C为最高数值位向符号位的进位值产生的进位， S为符号位产生的进位。当两补码进行加减运算（减法转化为加法进行）时，

如果两个进位值CS相同，则没有溢出发生

如果两个进位值不同，则有溢出发生。

若C＝1， S＝0时，则发生正溢

若C＝0， S＝1时，则发生负溢

即V=$S \oplus C$

定点乘法运算

原码一位乘法

1. 被乘数和乘数均取绝对值参加运算，符号位单独考虑。

2. 被乘数取双符号，部分积的长度与被乘数的长度相同，部分积的初值为0。

3. 从乘数的最低位的yn位开始对乘数进行判断，

若$y_n=1$，则部分积加上被乘数|x|，然后右移一位；

若$y_n=0$，则部分积加上0，然后右移一位。

1. 重复（3）判断n次。

补码一位乘法

1. 符号位参与运算，运算的数均以补码表示。

2. 被乘数一般取双符号位参加运算，部分积初值为0。

3. 乘数可取单符号位，以决定最后一步是否需要校正，即是否要加[-x]补。

4. 乘数末位增设附加位$y_{n+1}$，且初值为0。

5. 按表进行操作。

6. 按照上述算法进行n+1步操作，但第n+1步不再移位，仅根据$y_0与y_1$的比较结果作相应的运算即可。

• 补码移位规则：部分积为正，右移时有效位最高位补0；为负时最高位补1。

$y_n（高位）$	$y_{n+1}（低位）$	操 作
0	0	部分积右移一位
0	1	部分积加 $x_补$，右移一位
1	0	部分积加$[-x]_补$，右移一位
1	1	部分积右移一位

原码两位乘法

1. 符号位不参加运算，最后的符号$P_f= x_f \oplus y_f$。

2. 部分积与被乘数均采用三位符号，乘数末位增加一位C，其初值为0。

3. 按表操作。

4. 若乘数末尾数n为偶数，则乘数用双符号，最后一步不移位。

   若乘数末尾数n为奇数，则乘数用单符号，最后一步移一位。

$y_{n-1}$	$y_n$	C	操作
0	0	0	加0，右移两位,0$\rightarrow$C
0	0	1	加x，右移两位，0$\rightarrow$C
0	1	0	加x，右移两位，0$\rightarrow$C
0	1	1	加2x，右移两位，0$\rightarrow$C
1	0	0	加2x，右移两位，0$\rightarrow$C
1	0	1	减x，右移两位，1$\rightarrow$C
1	1	0	减x，右移两位，1$\rightarrow$C
1	1	1	加0，右移两位，1$\rightarrow$C

补码两位乘法

1. 符号位参加运算，两数均用补码表示。
2. 部分积与被乘数均采用三位符号表示，乘数末位增加一位$y_{n+1}$，其初值为0。
3. 按表操作。

4. 若乘数末尾数n为偶数，则乘数用双符号，最后一步不移位。

   若乘数末尾数n为奇数，则乘数用单符号，最后一步移一位。

$y_{n-1}$	$y_n$	$y_{n+1}$	操作
0	0	0	加0，右移两位
0	0	1	加$[x ]_补$，右移两位
0	1	0	加$[x ]_补$，右移两位
0	1	1	加$2[x ]_补$，右移两位
1	0	0	加$2[ -x ]_补$，右移两位
1	0	1	加$[ -x ]_补$，右移两位
1	1	0	加$[ -x ]_补$，右移两位
1	1	1	加0，右移两位

定点除法运算

原码一位除法

符号单求。

(x为被除数，y为除数)

1. 符号位不参加运算，并要求:|x|<|y|.

2. 先用被除数减去除数:

当余数为正时，商上1，余数左移一位，再减去除数。

当余数为负时，商上0，余数左移一位，再加上除数。

1. 当第n+1步余数为负时,需加上|y|得到第n+1步正确的余数。最后余数为$r_n×2^{-n}$(余数与被除数同号)。

补码一位除法

1. 符号位参加运算，除数与被除数均用双符号补码表示。

2. 被除数与除数同号时，被除数减去除数。被除数与除数异号时，被除数加上除数。商符号位的取值见第3步。

3. 余数与除数同号时，商上1，余数左移一位减去除数；余数与除数异号时，商上0，余数左移一位加上除数。

• 注意：余数左移加上或减去除数后就得到了新余数。

1. 采用校正法包括符号位在内，应重复规则第三步（n＋1）次。

商的校正原则：

当刚好能除尽 (即运算过程其中任一步余数为0) 时，如果除数为正，则商不必校正；若除数为负，则商需要校正，即加$2^{-n}$进行修正。

当不能除尽时，如果商为正，则不必校正；若商为负，则商需要加$2^{-n}$进行修正。

余数的处理：

若商为正，则当余数与被除数异号时，应将余数加上除数进行修正才能获得正确的余数。

若商为负，则当余数与被除数异号时，余数需要减去除数进行校正。

定点运算器的组成与结构

多功能算术逻辑运算单元

半加器:

$x_i$	$y_i$	$S_i$	$C_i$
0	0	0	0
0	1	1	0
1	0	1	0
1	1	0	1

$S_i=x_i \oplus y_i$

$C_i=x_i * y_i$

全加器：

输入：$x_i$、$y_i$、$C_{I-1}$(上一位的进位)

输出：$S_i$、$C_i$(进位)

$S_i=x_i \oplus y_i \oplus C_{i-1}$

$C_i=x_iy_i+(x_i \oplus y_i)C_{i-1}$

并行加法器及其进位链

1. 串行进位的并行加法器

通常把$x_i \oplus y_i$称为进位传递函数或进位传递条件，以$P_i$表示。将$x_iy_i$称为进位产生函数或本地进位，以$G_i$表示。所以，进位表达式又常表示为

$C_i=x_iy_i+(x_i \oplus y_i)C_{i-1}=G_i+P_iC_{i-1}$

并行进位的并行加法器

所以

$C_1=G_1+P_1C_0$

$C_2=G_2+P_1C_1$

$C_3=G_3+P_1C_2$

$C_4=G_4+P_1C_3$

上式可以改写成如下形式：

1. 

一重进位方式的ALU

组内并行，组间串行

顾名思义

组内并行、组间并行

二重进位方式的ALU

三重进位方式的ALU

浮点运算方法和浮点运算器

浮点算术运算

加减法

1. 0操作数的检查；

2. 比较阶码大小并完成对阶；

3. 尾数进行加或减运算；

4. 结果规格化并进行舍入处理。（0舍1入或末位恒置1）

乘法

设$x=2^mM_x$，$y=2^nM_y$，则$xy=2^{m+n}(M_xM_y)$